「人工衛星のパラドックス」はなぜ起きるのでしょうか

　地上数百kmの高度の円軌道を描いている人工衛星も、わずかに残る空気抵抗を受けています。ところが、この影響によって、速度は減少するのではなく、逆に増大するのです。これは「人工衛星のパラドックス」と呼ばれますが、どうしてこのようなことが起きるのでしょうか。

　実はこれは、「エネルギー保存則」に関係しています（参照：人工衛星はどのくらいの速さで地球の周りをまわっているのでしょうか）。高いところに物体を持ち上げるには、仕事が必要です。その結果、高いところにある物体は、低いところよりもエネルギーを持っていることになります。これを「位置エネルギー」といいます。地球から遠く離れると、万有引力はほとんど０（ゼロ）になるため、いくら離れてもそれ以上位置エネルギーは増えず、下の図のようになだらかな曲線の変化をします。

　人工衛星の質量をｍ、地球の質量をＭ、軌道半径をｒとすると、位置エネルギーＵは、万有引力定数をＧとして、

で表されます。無限遠点を基準（０）とすると、軌道上の人工衛星の位置エネルギーＵはそれより低いので、式の上では「マイナス」になります。

　円軌道では、速度ｖはで表されるため、運動エネルギーと位置エネルギーの和、すなわち全エネルギーＥは、
　　Ｅ＝（1/2）ｍｖ^２ ＋ Ｕ ＝ －ＧＭｍ／２ｒ
となり、グラフの太い曲線になります。←→で示した部分が運動エネルギーです。

　これで明らかなように、軌道半径ｒが減少すると、全エネルギーＥは減少しますが、位置エネルギーＵが２倍減少するため、その差額の運動エネルギーは逆に増加することになります。